Quadratische Gleichungen leicht erklärt
Eine quadratische Gleichung erkennt man daran, dass die Unbekannte im Quadrat vorkommt und in keiner höheren Potenz. Ihr Graph ist immer eine Parabel, und die Frage nach den Lösungen ist die Frage danach, wo diese Parabel die x-Achse schneidet. Das können zwei Stellen sein, eine einzige oder gar keine — und genau diese drei Fälle machen das Thema aus.
Normalform — x² + px + q = 0, also mit a = 1 davor.
Diskriminante D — der Ausdruck unter der Wurzel, b² − 4ac. Sie
entscheidet über die Zahl der Lösungen.
Nullstelle — eine x-Stelle, an der die Parabel die x-Achse trifft.
Scheitelpunkt — der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.
Satz von Vieta — bei x² + px + q gilt x₁ + x₂ = −p und
x₁ · x₂ = q.
Zwei Formeln, dieselbe Sache
In der Schule kursieren zwei Formeln, und viele halten sie für verschiedene Verfahren. Das sind sie nicht. Die pq-Formel ist nur die Mitternachtsformel für den Sonderfall a = 1. Wer eine Gleichung wie 2x² + 6x − 8 = 0 zuerst durch 2 teilt, landet bei x² + 3x − 4 = 0 und darf die kürzere Formel benutzen. Wer das Teilen vermeiden will, nimmt gleich die Mitternachtsformel. Beide liefern dasselbe Ergebnis.
Der entscheidende Teil beider Formeln ist der Ausdruck unter der Wurzel. Er heißt Diskriminante, weil er unterscheidet — discriminare ist lateinisch für unterscheiden. Ist er positiv, existieren zwei verschiedene Wurzeln und damit zwei Lösungen. Ist er genau null, fallen beide Lösungen zusammen: Die Parabel berührt die x-Achse, statt sie zu durchstoßen. Ist er negativ, gibt es im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung, denn aus einer negativen Zahl lässt sich keine Wurzel ziehen. Die Parabel schwebt dann komplett über oder unter der Achse.
Drei Parabeln mit zwei, einer und keiner Nullstelle
a = 2, b = −8, c = 6
D = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16
x = ( 8 ± √16 ) / 4 = ( 8 ± 4 ) / 4
x₁ = 3, x₂ = 1
Beispiel 2: x² − 6x + 9 = 0
D = 36 − 36 = 0
x = 6/2 = 3 (doppelte Lösung)
Beispiel 3: x² + 2x + 5 = 0
D = 4 − 20 = −16 → keine reelle Lösung
| D = b² − 4ac | Lösungen | Die Parabel … |
|---|---|---|
| D > 0 | zwei verschiedene | schneidet die x-Achse zweimal |
| D = 0 | eine doppelte | berührt die x-Achse im Scheitelpunkt |
| D < 0 | keine reelle | trifft die x-Achse nicht |
Wann man gar keine Formel braucht
Zwei Bauarten lassen sich im Kopf lösen, und es lohnt sich, sie vorher zu prüfen. Fehlt das konstante Glied, also bei ax² + bx = 0, klammert man x aus: x(ax + b) = 0. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist — also x = 0 oder x = −b/a. Fehlt dagegen das lineare Glied, wie bei x² − 49 = 0, zieht man direkt die Wurzel und erhält x = ±7. Das Plus-Minus wird hier besonders oft vergessen.
Praktisch ist außerdem der Satz von Vieta. Bei x² + px + q = 0 ist die Summe der Lösungen −p und ihr Produkt q. Bei x² − 7x + 12 = 0 sucht man also zwei Zahlen, die zusammen 7 ergeben und multipliziert 12 — das sind 3 und 4. Fertig, ohne Formel. Bei ganzzahligen Aufgaben ist das oft der schnellste Weg, und es taugt zugleich als Probe für ein Formelergebnis.
💬 Mia fragt Opa Theo
Warum heißt das ausgerechnet Mitternachtsformel?
Weil man sie so sicher können soll, dass man sie auch um Mitternacht aufsagen kann, wenn einen jemand weckt. Ein Lehrerspruch, kein mathematischer Begriff.
Und wenn unter der Wurzel etwas Negatives steht — ist die Aufgabe dann kaputt?
Nein, die Antwort lautet einfach: keine reelle Lösung. Später lernst du die komplexen Zahlen, dort gibt es sehr wohl Lösungen. In der Schule schreibt man an der Stelle aber schlicht hin, dass keine existiert.
pq-Formel benutzt, obwohl vor dem x² keine 1 steht. Erst durch a
teilen, sonst kommt Unsinn heraus.
Das Vorzeichen von b vergessen. Bei b = −8 steht in der Formel
−(−8) = +8.
Beim Wurzelziehen nur die positive Lösung angegeben. x² = 49 hat zwei
Lösungen, +7 und −7.
Die Gleichung nicht auf null gebracht. Beide Formeln setzen voraus,
dass rechts vom Gleichheitszeichen eine Null steht.
Ein rechteckiges Beet ist 3 m länger als breit und hat eine Fläche von 40 m². Wie breit ist es?
Lösung anzeigen
Breite x, Länge x + 3, Fläche x(x + 3) = 40
x² + 3x − 40 = 0
pq-Formel mit p = 3 und q = −40:
x = −1,5 ± √(2,25 + 40) = −1,5 ± √42,25 = −1,5 ± 6,5
x₁ = 5, x₂ = −8
Eine negative Breite gibt es nicht, also ist das Beet 5 m breit und
8 m lang. Probe: 5 · 8 = 40 m².
Merke: Bei Sachaufgaben muss man die Lösungen immer noch auf Sinnhaftigkeit prüfen —
die Mathematik liefert beide, die Wirklichkeit nur eine.
Quadratische Gleichungen sind der Einstieg in alles, was danach kommt: Scheitelpunktform, Parabelscharen, später die Nullstellen von Polynomfunktionen. Wer die drei Fälle der Diskriminante sicher unterscheidet, hat den schwierigsten Teil hinter sich.