Exponentielles Wachstum leicht erklärt
Beim linearen Wachstum kommt in jedem Schritt derselbe Betrag dazu. Beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert. Der Unterschied wirkt am Anfang winzig und ist nach wenigen Schritten gewaltig.
Wachstumsfaktor q — 1,05 bei 5 % Zunahme, 0,95 bei 5 % Abnahme.
Verdopplungszeit — wie lange bis zum doppelten Wert.
Halbwertszeit — dasselbe für den Zerfall.
Lineares Wachstum — konstante Zunahme, Graph ist eine Gerade.
Exponentielles Wachstum — konstanter Faktor, Graph wird immer steiler.
| Schritt | linear (+5 pro Schritt) | exponentiell (·2) |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 5 |
| 3 | 20 | 40 |
| 5 | 30 | 160 |
| 10 | 55 | 5120 |
Das Reiskorn-Problem
Feld 64 allein: 263 ≈ 9,2 · 1018 Körner
Das gesamte Schachbrett: 264 − 1 ≈ 1,8 · 1019
Bei 0,03 g je Korn sind das rund 550 Milliarden Tonnen — etwa das Tausendfache der heutigen Weltjahresernte.
Verdopplungszeit abschätzen
Die Siebzigerregel liefert in Sekunden eine brauchbare Näherung: Verdopplungszeit ≈ 70 geteilt durch die Wachstumsrate in Prozent. Bei 7 % Zinsen verdoppelt sich das Kapital also in rund zehn Jahren, bei 2 % in etwa 35.
💬 Mia fragt Opa Theo
Zwei Prozent im Jahr klingen doch nach fast nichts.
Für ein Jahr schon. Nach 35 Jahren ist es das Doppelte, nach 70 Jahren das Vierfache. Exponentielles Wachstum ist geduldig.
Und beim Zerfall?
Dasselbe rückwärts. Der Faktor ist dann kleiner als 1 — nach jeder Halbwertszeit bleibt die Hälfte übrig, nie null.
Prozente addiert statt Faktoren multipliziert. Zweimal 10 % Zuwachs sind 21 %, nicht 20 %.
Faktor falsch gebildet. 5 % Zunahme heißt q = 1,05, nicht 0,05.
Linear geschätzt. „Nach 10 Jahren doppelt, nach 20 dreifach" ist falsch — es ist vierfach.
Grenzen ignoriert. In der Natur endet exponentielles Wachstum immer, weil Platz oder Nahrung ausgehen.
Eine Bakterienkultur startet mit 500 Zellen und verdoppelt sich alle 20 Minuten. Wie viele Zellen sind es nach 3 Stunden? Nach welcher Zeit wären es eine Million?
Lösung anzeigen
3 Stunden sind 180 Minuten, also 180 ÷ 20 = 9 Verdopplungen.
N = 500 · 29 = 500 · 512 = 256.000 Zellen
Für eine Million: 1.000.000 ÷ 500 = 2000, und 211 = 2048 liegt knapp
darüber. Also 11 Verdopplungen → 11 · 20 min =
220 Minuten, gut 3 Stunden 40 Minuten.
Bemerkenswert: Für die ersten 256.000 Zellen brauchte die Kultur drei Stunden, für
die nächsten 256.000 nur zwanzig Minuten.
Warum exponentielles Wachstum immer endet
Rechnet man exponentielles Wachstum lange genug weiter, kommen absurde Zahlen heraus. Eine Bakterienkultur, die sich alle 20 Minuten verdoppelt, hätte nach zwei Tagen mehr Masse als die Erde. Das passiert offensichtlich nicht - und der Grund dafür gehört genauso zum Thema wie die Formel selbst.
In der Wirklichkeit stößt jedes Wachstum irgendwann an eine Grenze: Der Nährboden ist aufgebraucht, der Platz ist voll, die Abfallstoffe vergiften die Kultur. Der Wachstumsfaktor bleibt dann nicht konstant, sondern nähert sich der 1 an. Aus der steilen Exponentialkurve wird eine S-Kurve, in der Mathematik logistisches Wachstum genannt. Sie beginnt exponentiell, hat in der Mitte ihren steilsten Punkt und flacht danach gegen einen Höchstwert ab, die sogenannte Kapazitätsgrenze. Genau dieselbe Form beschreibt, wie sich eine Krankheit in einer Bevölkerung ausbreitet, wie sich ein neues Produkt verkauft oder wie eine Population in einem begrenzten Lebensraum wächst.
Das bekannteste Beispiel für exponentielles Wachstum im Alltag ist der Zinseszins, und daran sieht man die Formel gut in Aktion. Wer 2000 Euro zu 4 Prozent pro Jahr anlegt, hat nach n Jahren nicht 2000 + n · 80 Euro, sondern 2000 · 1,04n. Nach 10 Jahren sind das 2960 Euro, nach 20 Jahren 4382 Euro und nach 40 Jahren 9602 Euro. Linear gerechnet wären es nach 40 Jahren nur 5200 Euro gewesen - die Differenz von über 4400 Euro ist reiner Zinseszinseffekt. Mit der Siebzigerregel lässt sich das im Kopf abschätzen: 70 geteilt durch 4 ergibt rund 17,5 Jahre Verdopplungszeit, und 40 Jahre sind gut zwei Verdopplungen, also etwa das Vierfache. Die genaue Rechnung bestätigt das. Genau deshalb wirkt dieselbe Formel in beide Richtungen so mächtig - beim Sparen zugunsten des Anlegers, bei Schulden und Krediten gegen ihn.
Für Klassenarbeiten lohnt es sich, beide Fälle sauber zu trennen: Solange nichts bremst, gilt N(t) = N0 · qt. Sobald eine Grenze im Spiel ist, ist die Exponentialfunktion nur noch eine Näherung für die Anfangsphase - und wer sie darüber hinaus verwendet, bekommt genau die Bakterien so schwer wie die Erde.
🎥 In unter zwei Minuten erklärt – als Short auf unserem YouTube-Kanal: Falte ein Blatt Papier 42-mal und du bist am Mond.
Short ansehenDieselbe Mathematik steckt hinter Zinseszins, Virusausbreitung, Kettenreaktionen und der Speicherdichte von Computerchips. Wer sie einmal versteht, erkennt sie überall wieder.
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