Binomische Formeln leicht erklärt
Die binomischen Formeln sind keine neuen Regeln, sondern nur das ausmultiplizierte Ergebnis von drei Klammerausdrücken, die ständig vorkommen. Wer sie kennt, spart in der Klausur jedes Mal drei Rechenschritte.
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Binom — ein Term aus genau zwei Gliedern, etwa a + b.
Ausmultiplizieren — Klammern auflösen, aus (a+b)² wird a²+2ab+b².
Faktorisieren — der Rückweg, aus x²−9 wird (x+3)(x−3).
Gemischtes Glied — das mittlere 2ab, genau das wird am häufigsten vergessen.
Dritte Formel — auch „Plus-Minus-Formel", das mittlere Glied fällt weg.
Warum das mittlere Glied da ist
(a+b)² heißt (a+b)·(a+b). Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert — das ergibt vier Produkte, von denen zwei gleich sind.
= a·a + a·b + b·a + b·b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
Geometrisch ist es ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b: Es zerfällt in ein großes Quadrat a², ein kleines b² und zwei gleiche Rechtecke ab. Deshalb die Zwei.
| Ausgangsterm | Formel | Ergebnis |
|---|---|---|
| (x + 5)² | 1. | x² + 10x + 25 |
| (3y − 4)² | 2. | 9y² − 24y + 16 |
| (x + 7)(x − 7) | 3. | x² − 49 |
| x² + 6x + 9 | 1., rückwärts | (x + 3)² |
| 4a² − 25 | 3., rückwärts | (2a + 5)(2a − 5) |
Der Kopfrechentrick
102 · 98 = (100+2)(100−2) = 10000 − 4 = 9996
💬 Mia fragt Opa Theo
Warum ist (a+b)² nicht einfach a² + b²?
Probier es mit Zahlen: (2+3)² ist 25. a²+b² wäre 4+9 = 13. Es fehlen genau die 12 — und das sind die 2ab.
Also immer erst mit Zahlen prüfen?
Genau. Eine Formel, die bei zwei einfachen Zahlen scheitert, stimmt nie.
Mittleres Glied vergessen. Der mit Abstand häufigste Fehler.
Vorzeichen bei der zweiten Formel. Nur das mittlere Glied wird negativ, b² bleibt positiv.
Faktoren nicht mitquadriert. (3y)² ist 9y², nicht 3y².
Dritte Formel bei gleichem Vorzeichen angewendet. Sie gilt nur für (a+b)(a−b).
Zerlege 9x² − 30x + 25 in ein Produkt und prüfe dein Ergebnis für x = 2.
Lösung anzeigen
9x² ist (3x)², 25 ist 5², und 2 · 3x · 5 = 30x — das mittlere Glied
passt mit negativem Vorzeichen. Also die zweite Formel:
9x² − 30x + 25 = (3x − 5)²
Probe mit x = 2: links 9·4 − 60 + 25 = 36 − 60 + 25 = 1.
Rechts (6 − 5)² = 1 ✓
Wozu man sie wirklich braucht
In der Schule tauchen die binomischen Formeln zuerst beim Ausmultiplizieren auf. Ihren eigentlichen Wert entfalten sie aber in der Gegenrichtung: beim Faktorisieren. Wer in einem Term das Muster einer binomischen Formel erkennt, kann ihn in ein Produkt verwandeln - und Produkte lassen sich kürzen, während Summen das nicht tun.
Ein Beispiel: Der Bruch (x² − 9) ÷ (x − 3) sieht auf den ersten Blick nach Arbeit aus. Erkennt man im Zähler aber die dritte binomische Formel, wird daraus (x + 3)(x − 3) ÷ (x − 3), und der zweite Faktor kürzt sich weg. Übrig bleibt schlicht x + 3. Genau diese Abkürzung braucht man später ständig, etwa beim Bestimmen von Grenzwerten oder beim Kürzen von Bruchtermen.
Die zweite große Anwendung heißt quadratische Ergänzung und steckt hinter der gesamten Theorie der Parabeln. Nehmen wir x² + 6x + 1. Das ist noch keine binomische Formel, aber fast: Zu (x + 3)² = x² + 6x + 9 fehlen genau 8. Also schreibt man x² + 6x + 1 = (x + 3)² − 8. Der Trick besteht immer aus demselben Handgriff: Man halbiert die Zahl vor dem x, quadriert sie, addiert sie und zieht sie sofort wieder ab. Der Nutzen ist groß, denn an der neuen Schreibweise liest man den Scheitelpunkt der Parabel direkt ab - er liegt hier bei (−3 | −8). Und wer diesen Weg allgemein mit ax² + bx + c durchführt, erhält am Ende die Mitternachtsformel. Sie ist also keine vom Himmel gefallene Regel, sondern nichts anderes als eine einmal zu Ende gerechnete quadratische Ergänzung.
Ein dritter Nutzen ist reines Kopfrechnen. 49 · 51 lässt sich als (50 − 1)(50 + 1) lesen, also 2500 − 1 = 2499. Und 102² ist (100 + 2)² = 10000 + 400 + 4 = 10404. Wer die drei Formeln sicher beherrscht, rechnet solche Aufgaben schneller im Kopf als andere sie eintippen.
Die dritte Formel ist der Schlüssel zum Rationalmachen von Nennern: Ein Bruch mit √2 + 1 im Nenner wird mit √2 − 1 erweitert, und die Wurzel verschwindet.
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