Ableitungen leicht erklärt
Eine Ableitung beantwortet eine einzige Frage: Wie schnell ändert sich etwas gerade jetzt? Nicht im Durchschnitt über eine Stunde, nicht über einen Kilometer, sondern in genau einem Augenblick. Bei einem Graphen heißt das: Wie steil ist die Kurve an genau dieser Stelle? Genau dafür wurde die Differentialrechnung erfunden, und sie steckt heute in jedem Tempomat, jeder Wettervorhersage und jeder Kurvendiskussion in der Oberstufe.
Differenzenquotient — die mittlere Änderungsrate zwischen zwei
Punkten, also die Steigung der Sekante.
Differentialquotient — der Grenzwert daraus, die momentane
Änderungsrate. Das ist die Ableitung.
Sekante — eine Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneidet.
Tangente — eine Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt und
dort dieselbe Steigung hat.
Extremstelle — eine Stelle mit waagerechter Tangente, also
f′(x) = 0. Hochpunkt oder Tiefpunkt.
Wendepunkt — dort wechselt die Krümmung, erkennbar an
f″(x) = 0.
Von der Sekante zur Tangente
Die Steigung einer Geraden auszurechnen ist leicht: Höhenunterschied geteilt durch waagerechten Abstand. Bei einer Kurve funktioniert das nicht, weil die Steigung an jeder Stelle eine andere ist. Der Trick besteht darin, sich zunächst mit einer Näherung zufriedenzugeben. Man nimmt den Punkt P, den man untersuchen will, und einen zweiten Punkt Q ein Stück weiter rechts. Durch beide legt man eine Gerade, die Sekante. Deren Steigung ist leicht auszurechnen, sie beschreibt aber nur das durchschnittliche Verhalten zwischen P und Q.
Jetzt schiebt man Q immer näher an P heran. Der Abstand, den man üblicherweise h nennt, wird kleiner und kleiner. Die Sekante kippt dabei und nähert sich einer bestimmten Lage an: der Tangente in P. Deren Steigung ist die gesuchte Momentangeschwindigkeit der Kurve. Der Grenzwert h gegen null ist die saubere mathematische Formulierung dieses Heranschiebens. Man darf h nicht einfach null setzen, denn dann stünde im Nenner eine Null — deshalb der Umweg über den Grenzwert.
Wandert Q auf der Kurve nach P, kippt die Sekante in die Tangente. Ihre Steigung ist die Ableitung an der Stelle P.
In der Praxis rechnet niemand jedes Mal mit diesem Grenzwert. Man hat ihn einmal für die Grundfunktionen ausgerechnet und daraus Regeln gewonnen, die man auswendig kann. Die wichtigste ist die Potenzregel: Der Exponent wandert als Faktor nach vorn und wird um eins kleiner.
f(x) = x³ → f′(x) = 3x²
f(x) = 5x² → f′(x) = 10x
f(x) = 7 → f′(x) = 0
Zusammengesetzt: f(x) = x³ − 3x + 4
f′(x) = 3x² − 3
Steigung an der Stelle x = 2:
f′(2) = 3 · 4 − 3 = 9
Die Kurve steigt dort also neunmal so steil wie die Winkelhalbierende.
Eine Konstante hat die Ableitung null — das ist keine Schikane, sondern anschaulich: Der Graph von f(x) = 7 ist eine waagerechte Gerade, und die steigt nirgends.
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Potenzregel | xn → n·xn−1 | x⁴ → 4x³ |
| Faktorregel | c·f(x) → c·f′(x) | 6x² → 12x |
| Summenregel | f + g → f′ + g′ | x² + x → 2x + 1 |
| Produktregel | f·g → f′g + fg′ | x·sin x → sin x + x·cos x |
| Kettenregel | f(g(x)) → f′(g(x))·g′(x) | (2x+1)³ → 3(2x+1)²·2 |
Mit diesen fünf Regeln lässt sich fast alles ableiten, was in der Schule vorkommt. Die Kettenregel ist die einzige, die wirklich geübt werden muss: Man leitet die äußere Funktion ab, setzt die innere unverändert ein und multipliziert am Ende mit der Ableitung der inneren Funktion. Dieses letzte Multiplizieren wird am häufigsten vergessen.
Wofür man das braucht
Der offensichtlichste Nutzen ist die Kurvendiskussion: Wo f′(x) = 0 ist, liegt eine waagerechte Tangente, also ein möglicher Hoch- oder Tiefpunkt. Ob es wirklich einer ist und welcher, verrät die zweite Ableitung — ist f″ dort negativ, wölbt sich die Kurve nach unten und man hat einen Hochpunkt, ist sie positiv, einen Tiefpunkt. Das ist der Kern jeder Optimierungsaufgabe: die größte Fläche bei gegebenem Zaun, der geringste Materialverbrauch bei gegebenem Volumen.
Genauso wichtig ist die physikalische Lesart. Leitet man den zurückgelegten Weg nach der Zeit ab, erhält man die Geschwindigkeit. Leitet man die Geschwindigkeit noch einmal ab, erhält man die Beschleunigung. Der Tachometer im Auto zeigt nichts anderes an als die erste Ableitung der Wegfunktion, und das Gefühl, in den Sitz gedrückt zu werden, ist die zweite.
💬 Mia fragt Opa Theo
Warum darf man h nicht einfach null setzen? Dann wäre die Rechnung doch viel kürzer.
Weil dann null durch null dasteht, und das ist nicht definiert. Der Grenzwert ist der Umweg, der genau dieses Problem umgeht: Man schaut, wohin sich der Bruch bewegt, ohne jemals anzukommen.
Und die zweite Ableitung — ist das dann die Steigung der Steigung?
Genau so. Die erste sagt, wie schnell sich etwas ändert. Die zweite sagt, wie schnell sich diese Änderung ändert. Beim Autofahren: Tempo und Gaspedal.
Bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen. (2x+1)³
wird zu 3(2x+1)² mal 2, nicht nur zu 3(2x+1)².
f′(x) = 0 sofort als Extremum verkauft. Bei f(x) = x³ ist
f′(0) = 0, dort liegt aber ein Sattelpunkt und kein Extremum.
Die Konstante mitgeschleppt. Aus x² + 5 wird 2x, nicht 2x + 5.
Ableitung und Funktionswert verwechselt. f′(2) ist die
Steigung an der Stelle 2, nicht die Höhe des Graphen dort.
Gegeben ist f(x) = x³ − 6x² + 9x. Bestimme alle Extremstellen und gib an, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
Lösung anzeigen
Erste Ableitung: f′(x) = 3x² − 12x + 9
Nullsetzen: 3x² − 12x + 9 = 0, geteilt durch 3 ergibt x² − 4x + 3 = 0
Mit der pq-Formel: x = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
Also x₁ = 1 und x₂ = 3.
Zweite Ableitung: f″(x) = 6x − 12
f″(1) = −6, also negativ → Hochpunkt bei x = 1, Funktionswert f(1) = 4
f″(3) = 6, also positiv → Tiefpunkt bei x = 3, Funktionswert f(3) = 0
Die Kurve steigt also bis x = 1 an, fällt bis x = 3 ab und steigt danach wieder.
Wer die Ableitung verstanden hat, versteht auch die Umkehrung: Das Integral sammelt wieder auf, was die Ableitung zerlegt hat. Beide zusammen sind der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung — und der Grund, warum man aus einer Geschwindigkeit den Weg zurückrechnen kann.
Exponentielles Wachstum · Sinus, Cosinus und Tangens · Fallgeschwindigkeit