Sinus, Cosinus und Tangens leicht erklärt
Trigonometrie verbindet Winkel mit Längen. Sobald ein Dreieck einen rechten Winkel hat, genügen ein Winkel und eine Seite, um alles Übrige auszurechnen. Genau davon leben Vermessung, Navigation und jede Kraftzerlegung in der Physik.
cos α = Ankathete / Hypotenuse
tan α = Gegenkathete / Ankathete
Hypotenuse — die Seite gegenüber dem rechten Winkel, immer die längste.
Gegenkathete — liegt dem betrachteten Winkel gegenüber.
Ankathete — liegt am betrachteten Winkel an.
Sinus, Kosinus, Tangens — Seitenverhältnisse, keine Längen. Deshalb einheitenlos.
Arkusfunktionen — die Umkehrung, auf dem Taschenrechner sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹. Aus dem Verhältnis wird der Winkel.
Warum die Verhältnisse fest sind
Zwei rechtwinklige Dreiecke mit demselben Winkel sind zueinander ähnlich — das eine ist nur eine vergrößerte Ausgabe des anderen. Bei einer Vergrößerung wachsen alle Seiten um denselben Faktor, also bleibt jedes Seitenverhältnis unverändert. Deshalb hängt der Sinus nur vom Winkel ab und nicht von der Größe des Dreiecks.
| Winkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,866 | 0,577 |
| 45° | 0,707 | 0,707 | 1 |
| 60° | 0,866 | 0,5 | 1,732 |
| 90° | 1 | 0 | nicht definiert |
Bei 45° sind Sinus und Kosinus gleich — das Dreieck ist symmetrisch. Bei 90° hat der Tangens keinen Wert, weil die Ankathete auf null schrumpft und man nicht durch null teilen darf.
tan 34° = Höhe ÷ 12
Höhe = 12 · tan 34° = 12 · 0,6745 = 8,09 m
💬 Mia fragt Opa Theo
Woher weiß ich, ob ich Sinus oder Kosinus nehmen muss?
Schau, welche Seiten vorkommen. Gegenkathete und Hypotenuse heißt Sinus, Ankathete und Hypotenuse heißt Kosinus, die beiden Katheten heißen Tangens.
Und wenn ich den Winkel suche?
Dann rechnest du das Verhältnis aus und drückst sin⁻¹ oder tan⁻¹. Achte nur darauf, dass der Rechner auf DEG steht und nicht auf RAD.
Taschenrechner im Bogenmaß. Steht RAD statt DEG im Display, sind alle Ergebnisse falsch. Probe: sin 30° muss 0,5 ergeben.
Kathetten verwechselt. „Gegen" und „an" beziehen sich immer auf den betrachteten Winkel, nicht auf den rechten.
sin⁻¹ als 1/sin gelesen. Es ist die Umkehrfunktion, nicht der Kehrwert.
Auf schiefe Dreiecke angewendet. Ohne rechten Winkel braucht es Sinus- oder Kosinussatz.
Eine Rampe überwindet 0,75 m Höhe auf 9,00 m Länge (gemessen entlang der Rampe). Berechne den Steigungswinkel. Für Rollstühle sind höchstens 6 % Steigung zulässig — ist die Rampe zulässig?
Lösung anzeigen
Höhe ist Gegenkathete, Rampenlänge ist Hypotenuse → Sinus.
sin α = 0,75 ÷ 9,00 = 0,0833
α = sin⁻¹(0,0833) = 4,78°
Die Steigung in Prozent ist der Tangens: waagerechte Strecke =
√(9,00² − 0,75²) = 8,969 m, also tan α = 0,75 ÷ 8,969 =
0,0836 → 8,4 %.
Damit liegt die Rampe über der Grenze von 6 % und ist nicht
zulässig. Für 6 % dürfte sie bei 0,75 m Höhe höchstens 0,045 m pro Meter steigen —
nötig wären rund 12,5 m Länge.
Der Einheitskreis
Am rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad erklärt - größere passen schlicht nicht hinein. Der Einheitskreis löst dieses Problem und ist deshalb der nächste Schritt nach den Seitenverhältnissen.
Man zeichnet einen Kreis mit dem Radius 1 um den Koordinatenursprung. Dann trägt man den Winkel von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn ab und schaut, wo der Schenkel den Kreis trifft. Dieser Punkt hat die Koordinaten (cos α | sin α). Das ist keine neue Definition, sondern dieselbe wie vorher: Weil die Hypotenuse hier genau 1 lang ist, sind Gegenkathete und Ankathete direkt gleich Sinus und Kosinus. Nur funktioniert diese Sichtweise jetzt für jeden Winkel - auch für 150 Grad, für 270 Grad oder für negative Werte.
Der Einheitskreis erklärt mehrere Dinge auf einen Blick. Erstens die Vorzeichen: Im zweiten Quadranten ist die x-Koordinate negativ, also ist der Kosinus dort negativ, während der Sinus positiv bleibt. Zweitens die Werte an den Achsen: Bei 0 Grad liegt der Punkt bei (1 | 0), bei 90 Grad bei (0 | 1), bei 180 Grad bei (−1 | 0). Daraus folgt sofort sin 0° = 0, cos 90° = 0 und warum der Tangens bei 90 Grad nicht definiert ist - man müsste durch null teilen. Drittens die Periodizität: Nach einer vollen Umdrehung ist man wieder am Ausgangspunkt, deshalb wiederholen sich alle Werte alle 360 Grad. Und viertens fällt der bekannteste Zusammenhang der Trigonometrie einfach heraus: Der Punkt liegt auf einem Kreis mit Radius 1, nach dem Satz des Pythagoras gilt also sin²α + cos²α = 1. Diese Gleichung wird oft auswendig gelernt - dabei ist sie nichts anderes als der Kreis selbst.
Wer den Punkt gedanklich einmal langsam um den Kreis wandern lässt und dabei nur die Höhe aufzeichnet, erhält übrigens genau die Sinuskurve. Damit ist der Übergang zu Schwingungen gemacht - Schall, Licht und Wechselstrom werden alle mit derselben Funktion beschrieben.
Dieselben Funktionen beschreiben auch Schwingungen: Schall, Licht und Wechselstrom werden als Sinuskurven dargestellt. Der Umweg über das Dreieck ist nur der Einstieg.
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