Las derivadas explicadas de forma sencilla
Una derivada responde a una sola pregunta: ¿con qué rapidez cambia algo en este preciso instante? No en promedio durante una hora, sino en un único momento. En una gráfica significa: ¿qué pendiente tiene la curva exactamente en este punto?
De la secante a la tangente
Calcular la pendiente de una recta es sencillo: altura dividida entre distancia horizontal. Una curva tiene una pendiente distinta en cada punto, así que empezamos con una aproximación. Tomamos el punto P que nos interesa y un segundo punto Q algo más a la derecha. La recta que pasa por ambos se llama secante, y su pendiente es fácil de calcular, pero solo describe el comportamiento medio entre P y Q.
Ahora acercamos Q a P. La distancia, que solemos llamar h, se hace cada vez más pequeña y la secante bascula hasta una posición concreta: la tangente en P. Su pendiente es la variación instantánea que buscábamos. No podemos poner h igual a cero sin más, porque entonces habría un cero en el denominador — de ahí el rodeo por el límite.
Cuando Q se desliza hacia P, la secante bascula hasta la tangente. Su pendiente es la derivada en P.
f(x) = x³ → f′(x) = 3x²
f(x) = 5x² → f′(x) = 10x
f(x) = 7 → f′(x) = 0
f(x) = x³ − 3x + 4 → f′(x) = 3x² − 3
Pendiente en x = 2: f′(2) = 12 − 3 = 9
| Regla | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Potencia | xn → n·xn−1 | x⁴ → 4x³ |
| Factor constante | c·f → c·f′ | 6x² → 12x |
| Suma | f + g → f′ + g′ | x² + x → 2x + 1 |
| Producto | f·g → f′g + fg′ | x·sen x → sen x + x·cos x |
| Cadena | f(g(x)) → f′(g(x))·g′(x) | (2x+1)³ → 3(2x+1)²·2 |
Para qué sirve
Donde f′(x) = 0 la tangente es horizontal, lo que señala un posible máximo o mínimo. La segunda derivada indica cuál de los dos: si es negativa la curva se comba hacia abajo y hay un máximo; si es positiva, un mínimo. Ese es el núcleo de cualquier problema de optimización.
La lectura física es igual de importante. Al derivar la distancia respecto al tiempo se obtiene la velocidad, y al derivar la velocidad, la aceleración. El velocímetro de un coche no muestra otra cosa que la primera derivada de su función de posición.
Olvidar la derivada interna en la regla de la cadena.
(2x+1)³ pasa a 3(2x+1)² por 2.
Dar por hecho que f′(x) = 0 es un extremo. En f(x) = x³ la
derivada se anula en 0, pero ahí hay un punto de silla.
Arrastrar la constante. x² + 5 se deriva como 2x, no 2x + 5.
Para f(x) = x³ − 6x² + 9x, halla todos los extremos e indica si son máximos o mínimos.
Ver solución
f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 0 → x² − 4x + 3 = 0 →
x = 1 y x = 3.
f″(x) = 6x − 12. f″(1) = −6 → máximo en x = 1,
f(1) = 4. f″(3) = 6 → mínimo en x = 3, f(3) = 0.
Crecimiento exponencial · Seno, coseno y tangente · Velocidad de caída