Ecuaciones de segundo grado explicadas de forma sencilla
Una ecuación de segundo grado se reconoce porque la incógnita aparece al cuadrado y en ninguna potencia mayor. Su gráfica es siempre una parábola, y preguntar por las soluciones equivale a preguntar dónde corta esa parábola al eje x. Puede ocurrir dos veces, una sola o ninguna.
Dos fórmulas, la misma idea
Mucha gente cree que la fórmula general y la fórmula reducida son métodos distintos. No lo son: la reducida es la general para el caso a = 1. Si divides 2x² + 6x − 8 = 0 entre 2 obtienes x² + 3x − 4 = 0 y puedes usar la versión corta.
Lo decisivo en ambas es la expresión bajo la raíz, llamada discriminante. Si es positiva hay dos soluciones distintas. Si vale exactamente cero, ambas coinciden y la parábola toca el eje en lugar de atravesarlo. Si es negativa no hay solución real, porque ningún número real elevado al cuadrado da un valor negativo.
Tres parábolas con dos, una y ninguna raíz
D = 64 − 48 = 16
x = ( 8 ± 4 ) / 4 → x₁ = 3, x₂ = 1
x² − 6x + 9 = 0 → D = 0 → x = 3 (raíz doble)
x² + 2x + 5 = 0 → D = −16 → sin solución real
| D = b² − 4ac | Soluciones | La parábola … |
|---|---|---|
| D > 0 | dos distintas | corta el eje x dos veces |
| D = 0 | una doble | toca el eje en el vértice |
| D < 0 | ninguna real | no llega al eje |
Cuando no hace falta ninguna fórmula
Si falta el término independiente, saca x factor común: x(ax + b) = 0 da x = 0 o x = −b/a. Si falta el término lineal, como en x² − 49 = 0, extrae la raíz directamente y no olvides los dos signos: x = ±7. Las fórmulas de Vieta también ayudan — en x² + px + q las raíces suman −p y multiplican q.
Usar la fórmula reducida cuando el coeficiente principal no es 1.
Perder el signo de b. Si b = −8, en la fórmula aparece +8.
Dar solo la raíz positiva. x² = 49 tiene dos soluciones.
No igualar a cero antes de empezar.
Un bancal rectangular es 3 m más largo que ancho y tiene 40 m² de superficie. ¿Cuánto mide de ancho?
Ver solución
x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0 → x = −1,5 ± 6,5 → x₁ = 5, x₂ = −8. Un ancho no puede ser negativo, así que el bancal mide 5 m de ancho y 8 m de largo.
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