Strahlensatz leicht erklärt
Die Strahlensätze beschreiben, was passiert, wenn zwei Geraden von einem gemeinsamen Punkt ausgehen und von zwei parallelen Linien geschnitten werden. Dann entstehen zwei Dreiecke, die dieselbe Form haben, aber unterschiedlich groß sind. Und weil die Form gleich ist, stehen alle Längen in demselben Verhältnis zueinander. Mit dieser einen Einsicht lässt sich die Höhe eines Baums bestimmen, ohne hinaufzuklettern.
Scheitelpunkt Z — der Punkt, von dem beide Strahlen ausgehen.
Strahl — eine Halbgerade, die in Z beginnt.
Erster Strahlensatz — vergleicht Abschnitte auf denselben
Strahlen miteinander.
Zweiter Strahlensatz — setzt die parallelen Strecken ins Verhältnis
zu den Abschnitten auf den Strahlen.
Ähnlich — gleiche Form, andere Größe. Alle Winkel stimmen überein,
alle Seiten sind um denselben Faktor gestreckt.
Warum das funktioniert
Der Grund ist einfacher, als die Formeln aussehen lassen. Sind zwei Linien parallel, treffen sie beide Strahlen unter genau demselben Winkel — das sind Stufenwinkel, und die sind gleich groß. Der Winkel am Scheitelpunkt Z ist für beide Dreiecke sowieso derselbe. Damit stimmen alle drei Winkel überein, und Dreiecke mit gleichen Winkeln sind ähnlich. Ähnlichkeit heißt: Das eine Dreieck ist nichts anderes als eine vergrößerte Kopie des anderen. Und in einer Kopie wurden alle Längen mit demselben Faktor multipliziert — genau das sagen die Strahlensätze aus.
Vom Scheitelpunkt Z laufen zwei Strahlen aus, zwei parallele Strecken schneiden sie. Die Verhältnisse der Abschnitte sind gleich.
Der erste Strahlensatz vergleicht Abschnitte auf den Strahlen: Verhält sich ZA zu ZB wie 1 zu 3, dann verhält sich auch ZC zu ZD wie 1 zu 3. Der zweite Strahlensatz nimmt die parallelen Strecken dazu: Auch AC zu BD steht dann 1 zu 3. Wichtig ist, dass beim ersten Satz immer vom Scheitelpunkt aus gemessen wird. Wer stattdessen die Teilstrecke AB nimmt, rechnet mit einer anderen Größe und bekommt ein falsches Ergebnis.
Die kurze parallele Strecke AC misst 3 cm. Wie lang ist BD?
Streckfaktor k = ZB / ZA = 12 / 4 = 3
BD = k · AC = 3 · 3 = 9 cm
Gegenprobe über den zweiten Strahlensatz:
ZA : ZB = AC : BD → 4 : 12 = 3 : 9 → beide Seiten ergeben 1/3 ✓
Der häufigste Fehler steckt schon in diesem kleinen Beispiel: ZB ist nicht 8 cm. AB ist der Abschnitt zwischen den Parallelen, ZB ist der gesamte Abstand vom Scheitelpunkt, also 4 + 8 = 12 cm.
| Was verglichen wird | Verhältnis | |
|---|---|---|
| 1. Strahlensatz | Abschnitte auf demselben Strahl | ZA : ZB = ZC : ZD |
| 1. Strahlensatz (Variante) | Teilstücke zwischen den Parallelen | ZA : AB = ZC : CD |
| 2. Strahlensatz | Parallelen gegen Strahlabschnitte | AC : BD = ZA : ZB |
Der Baum am Nachmittag
Die klassische Anwendung ist die Höhenmessung mit dem Schatten. Ein Stock von 1,50 m Höhe wirft einen Schatten von 2,00 m. Zur gleichen Zeit wirft ein Baum einen Schatten von 14,00 m. Sonnenstrahlen sind über diese Entfernung praktisch parallel, also sind Stock und Baum zwei ähnliche Dreiecke. Damit gilt: Baumhöhe zu Baumschatten verhält sich wie Stockhöhe zu Stockschatten. Die Baumhöhe ist also 14,00 · 1,50 / 2,00 = 10,50 m. Das ist derselbe Trick, mit dem angeblich schon Thales die Höhe der Cheops-Pyramide bestimmt hat, und er funktioniert bis heute ohne jedes Messgerät außer einem Maßband.
💬 Mia fragt Opa Theo
Muss ich mir merken, welcher Satz der erste und welcher der zweite ist?
Für die Rechnung nicht. Merk dir lieber die Bilder: Der eine vergleicht Strecken auf den Strahlen, der andere die beiden parallelen Strecken. Welche Nummer das hat, fragt dich später niemand mehr.
Und was, wenn die Linien nicht ganz parallel sind?
Dann gilt der Satz nicht mehr. Beim Schattenbeispiel funktioniert es nur, weil die Sonne so weit weg ist, dass ihre Strahlen bei uns als parallel durchgehen. Bei einer Straßenlaterne im Hof stimmt das nicht — da bräuchtest du eine andere Rechnung.
Abschnitte verwechselt. ZB ist der Abstand vom Scheitelpunkt, AB
nur das Stück dazwischen.
Parallelität nicht geprüft. Ohne parallele Linien kein Strahlensatz.
Verhältnis über Kreuz angesetzt. Beide Brüche müssen gleich
aufgebaut sein: klein durch groß auf beiden Seiten.
Einheiten gemischt. Zentimeter und Meter erst angleichen, dann
kürzen.
Ein 1,80 m großer Mensch steht 3,00 m von einer Straßenlaterne entfernt und wirft einen 2,00 m langen Schatten. Wie hoch hängt die Lampe?
Lösung anzeigen
Hier ist der Scheitelpunkt Z die Schattenspitze, nicht die Lampe. Vom
Schattenende aus gemessen:
Abstand bis zum Menschen: 2,00 m, Höhe dort 1,80 m
Abstand bis zum Laternenmast: 2,00 + 3,00 = 5,00 m
h / 1,80 = 5,00 / 2,00 = 2,5
h = 2,5 · 1,80 = 4,50 m
Die Lampe hängt also in 4,50 m Höhe. Beachte: Anders als bei der Sonne ist die
Lichtquelle hier nah, deshalb ist sie selbst der Scheitelpunkt des Strahlenbündels —
und man muss die Abstände vom Schatten aus messen, nicht von der Lampe.
Wer die Strahlensätze verstanden hat, versteht auch, warum ein Foto eines Hauses genauso aussieht wie das Haus selbst, nur kleiner: Die Linse macht nichts anderes als eine zentrische Streckung.
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