El teorema de Tales explicado de forma sencilla
El teorema de Tales describe qué ocurre cuando dos rectas parten de un punto común y son cortadas por dos líneas paralelas. Aparecen dos triángulos con la misma forma pero distinto tamaño, y como la forma es idéntica, todas las longitudes guardan la misma proporción.
Por qué funciona
Dos rectas paralelas cortan ambos rayos con exactamente el mismo ángulo, y el ángulo del vértice pertenece a los dos triángulos. Los tres ángulos coinciden, así que los triángulos son semejantes: uno es simplemente una copia ampliada del otro, con todas las longitudes multiplicadas por el mismo factor.
Dos rayos que parten del vértice Z son cortados por dos segmentos paralelos. Las razones entre los tramos coinciden.
Factor de semejanza k = ZB / ZA = 12 / 4 = 3
BD = k · AC = 9 cm
Comprobación: 4 : 12 = 3 : 9 → ambos lados dan 1/3 ✓
Medir un árbol por su sombra
Un palo de 1,50 m proyecta una sombra de 2,00 m. En ese mismo momento un árbol proyecta una sombra de 14,00 m. A esa distancia los rayos del sol son prácticamente paralelos, así que palo y árbol forman dos triángulos semejantes. El árbol mide por tanto 14,00 · 1,50 / 2,00 = 10,50 m. Se dice que Tales midió así la Gran Pirámide.
| Qué se compara | Razón | |
|---|---|---|
| Primera | tramos sobre el mismo rayo | ZA : ZB = ZC : ZD |
| Primera (variante) | tramos entre las paralelas | ZA : AB = ZC : CD |
| Segunda | paralelas frente a tramos del rayo | AC : BD = ZA : ZB |
Confundir los tramos. ZB se mide desde el vértice, AB es solo el
trozo intermedio.
No comprobar que las líneas sean paralelas.
Plantear la proporción cruzada. Ambas fracciones deben construirse
igual.
Una persona de 1,80 m está a 3,00 m de una farola y proyecta una sombra de 2,00 m. ¿A qué altura está la lámpara?
Ver solución
El vértice es la punta de la sombra. Distancia a la persona 2,00 m, al poste
5,00 m.
h / 1,80 = 5,00 / 2,00 = 2,5 → h = 4,50 m
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