Satz des Pythagoras leicht erklärt
Der Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck — und nur dort. Er verbindet die drei Seitenlängen so fest miteinander, dass zwei davon immer die dritte festlegen. Deshalb steckt er überall drin, wo Entfernungen ausgerechnet werden: im Bauwesen, in der Navigation, im Koordinatensystem.
Kathete — eine der beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.
Hypotenuse — die Seite gegenüber dem rechten Winkel, stets die längste.
Rechtwinkliges Dreieck — ein Dreieck mit einem 90°-Winkel.
Pythagoreisches Tripel — drei ganze Zahlen, die den Satz erfüllen, etwa 3-4-5 oder 5-12-13.
Umkehrung — gilt a² + b² = c², dann ist das Dreieck rechtwinklig. Damit lässt sich ein rechter Winkel nachweisen.
Warum das stimmt
Der Satz redet nicht über Längen, sondern über Flächen. Zeichne über jede Seite ein Quadrat. Dann ist der Flächeninhalt des großen Quadrats über der Hypotenuse genau so groß wie die beiden kleinen zusammen. Beim 3-4-5-Dreieck heißt das: 9 Kästchen plus 16 Kästchen ergeben 25 Kästchen. Man kann die kleinen Quadrate zerschneiden und lückenlos in das große legen — das ist der klassische Zerlegungsbeweis, und er kommt ohne eine einzige Formel aus.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = √25 = 5 cm
Gesucht eine Kathete: c = 13 cm, a = 5 cm
b² = c² − a² = 169 − 25 = 144
b = √144 = 12 cm
Die zweite Zeile ist der Fall, an dem die meisten scheitern: Wird eine Kathete gesucht, wird subtrahiert, nicht addiert. Wer stur addiert, bekommt eine Kathete, die länger ist als die Hypotenuse — geometrisch unmöglich.
| a | b | c | Probe |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
Vielfache funktionieren ebenfalls: 6-8-10 oder 9-12-15 sind nur vergrößerte 3-4-5-Dreiecke. Bauhandwerker nutzen das seit der Antike, um ohne Winkelmesser einen sauberen rechten Winkel abzustecken — Schnur mit zwölf gleichen Abschnitten, Dreieck aus 3, 4 und 5 Abschnitten legen, fertig.
💬 Mia fragt Opa Theo
Woher weiß ich denn, welche Seite die Hypotenuse ist?
Such den rechten Winkel und schau, welche Seite ihm gegenüber liegt. Die ist es — und sie ist immer die längste im Dreieck.
Und wenn gar kein rechter Winkel da ist?
Dann gilt der Satz nicht. Dafür gibt es später den Kosinussatz — der Pythagoras ist nur dessen Spezialfall für 90°.
Am Ende die Wurzel vergessen. c² = 25 heißt c = 5, nicht 25.
Bei gesuchter Kathete addiert. Dann subtrahieren: b² = c² − a².
Auf ein schiefes Dreieck angewendet. Ohne rechten Winkel ist die
Formel schlicht falsch.
Einheiten gemischt. Erst alles in dieselbe Einheit umrechnen, dann
quadrieren — sonst potenziert sich der Fehler.
Eine Leiter ist 5,00 m lang und steht 1,40 m von der Hauswand entfernt. In welcher Höhe berührt sie die Wand? Runde auf Zentimeter und beurteile kurz, ob die Leiter sicher steht.
Lösung anzeigen
Die Leiter ist die Hypotenuse, der Wandabstand eine Kathete, die gesuchte Höhe die
andere.
h² = 5,00² − 1,40² = 25,00 − 1,96 = 23,04
h = √23,04 = 4,80 m
Zur Sicherheit: Der Anstellwinkel folgt aus cos α = 1,40 / 5,00 = 0,28, also
α ≈ 73,7°. Für Anlegeleitern werden 65° bis 75° empfohlen — die Leiter steht damit
im zulässigen Bereich, aber am oberen Rand. Ein etwas größerer Wandabstand wäre
bequemer zu besteigen.
🎥 Das Thema gibt es auch als Video auf unserem YouTube-Kanal.
Video ansehenIm Koordinatensystem ist der Satz die Abstandsformel: Der Abstand zweier Punkte ist √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Jedes Navigationsgerät rechnet damit, nur eben in drei Dimensionen.
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