Mathematik - Stochastik

Warum ist jede gemischte Kartenreihenfolge einzigartig?

Ein normales Kartenspiel hat 52 Karten. Mischst du es gut durch, entsteht eine bestimmte Reihenfolge. Die Frage ist: Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind überhaupt möglich?

52! = 52 × 51 × 50 × ... × 2 × 1 Gesprochen: "52 Fakultät" — das Ausrufezeichen bedeutet, du multiplizierst alle Zahlen von 52 runter bis 1

💬 Mia fragt Opa Theo

Mia

52 mal 51 mal 50 und so weiter - das kann doch nicht sooo viele Möglichkeiten geben, oder?

Opa Theo

Doch, genau das ist der Trick an Fakultäten - sie explodieren unglaublich schnell! Für die erste Karte hast du 52 Möglichkeiten, für die zweite nur noch 51 (eine ist ja schon vergeben), für die dritte 50, und so weiter bis zur letzten Karte.

Mia

Okay, zeig mir das mal mit weniger Karten, damit ich das nachvollziehen kann.

Opa Theo

Gerne! Mit 3 Karten gibt es 3! = 6 Reihenfolgen. Mit 4 Karten schon 4! = 24. Mit 5 Karten 5! = 120. Du siehst: Es wächst nicht langsam, sondern explosionsartig - und bei 52 Karten landest du bei einer Zahl mit 68 Stellen.

Die Zahl ausgeschrieben

52! ≈ 8,07 × 10⁶⁷ — das ist eine 8 mit 67 Nullen dahinter (genauer: 80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000).

Zum Vergleich: Das Universum ist seit dem Urknall etwa 4,35 × 10¹⁷ Sekunden alt. Selbst wenn jeder der rund 8 Milliarden Menschen auf der Erde jede einzelne Sekunde seit dem Urknall ein neues Kartenspiel gemischt hätte, kämen dabei nur etwa 3,5 × 10²⁷ Reihenfolgen zusammen - immer noch 40 Zehnerpotenzen weniger als 52!

Deshalb gilt: Wenn du das nächste Mal ein Kartenspiel gut mischst, hält die entstehende Reihenfolge mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit den Rekord, noch nie zuvor in der Geschichte der Menschheit existiert zu haben - und wird wohl auch nie wieder auftauchen.

Fachbegriffe

Fakultät (n!) — das Produkt aller Zahlen von 1 bis n.
Permutation — eine mögliche Reihenfolge.
Kombination — eine Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge.
Laplace-Wahrscheinlichkeit — günstige durch mögliche Fälle.

Wie viele Reihenfolgen es gibt

52 Karten lassen sich auf 52! Arten anordnen.

52! ≈ 8,07 · 10⁶⁷

zum Vergleich:
Atome auf der Erde ≈ 10⁵⁰
Sekunden seit dem Urknall ≈ 4 · 10¹⁷

Die Zahl ist so groß, dass jede gut gemischte Reihenfolge mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit noch nie zuvor existiert hat — in der ganzen Geschichte des Kartenspiels nicht. Das ist keine Redensart, sondern eine schlichte Folge der Größenordnung.

Wie schnell die Fakultät wächst
n	n!
5	120
10	3.628.800
20	2,4 · 10¹⁸
52	8,07 · 10⁶⁷

Typische Fehler

Reihenfolge mitgezählt, wo sie egal ist. Beim Ziehen einer Hand zählt die Reihenfolge meist nicht — dann durch die Fakultät der Handgröße teilen.
Mit und ohne Zurücklegen verwechselt. Bei Karten wird nicht zurückgelegt, der Nenner sinkt in jedem Schritt.
Wahrscheinlichkeiten addiert statt multipliziert. Bei aufeinanderfolgenden Bedingungen wird multipliziert.
„Sehr unwahrscheinlich heißt unmöglich." Irgendeine Reihenfolge kommt immer heraus.

Übungsaufgabe

Wie wahrscheinlich ist es, aus einem 52er-Blatt zwei Asse hintereinander zu ziehen, ohne zurückzulegen?

Lösung anzeigen

Erstes Ass: 4 von 52 = 1/13.
Zweites Ass: nur noch 3 Asse bei 51 Karten = 3/51 = 1/17.

P = 1/13 · 1/17 = 1/221 ≈ 0,45 %

Mit Zurücklegen wären es 4/52 · 4/52 = 1/169 ≈ 0,59 % — spürbar mehr. Der Unterschied entsteht, weil die erste gezogene Karte die Ausgangslage für die zweite verändert. Genau das macht Kartenspiele mathematisch interessanter als Würfelspiele.

🎥 In unter zwei Minuten erklärt – als Short auf unserem YouTube-Kanal.

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