Das Geburtstagsparadoxon leicht erklärt
In einer Klasse mit 23 Schülern liegt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am selben Tag Geburtstag haben, bei über 50 Prozent. Das klingt falsch — bei 365 Tagen im Jahr. Der Denkfehler steckt in der Frage, die man sich unbewusst stellt.
Gegenereignis — das Gegenteil des gesuchten Ereignisses. P(A) = 1 − P(nicht A).
Laplace-Wahrscheinlichkeit — günstige durch mögliche Fälle, wenn alle gleich wahrscheinlich sind.
Unabhängige Ereignisse — Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert.
Paarbildung — bei n Personen gibt es n(n−1)/2 mögliche Paare.
Der eigentliche Grund: es geht um Paare
Die meisten denken: „Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand an meinem Geburtstag Geburtstag hat?" Das ist tatsächlich selten. Gefragt ist aber, ob irgendein Paar zusammenpasst — und Paare gibt es viel mehr, als man vermutet.
bei 10 Personen: 45 Paare
bei 23 Personen: 253 Paare
bei 40 Personen: 780 Paare
253 Gelegenheiten für einen Treffer — so gesehen sind 50 Prozent nicht mehr überraschend, sondern plausibel.
| Personen | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 10 | 11,7 % |
| 20 | 41,1 % |
| 23 | 50,7 % |
| 30 | 70,6 % |
| 50 | 97,0 % |
| 70 | 99,9 % |
💬 Mia fragt Opa Theo
Aber ein Jahr hat doch 365 Tage! Da müssten es mindestens 183 Leute sein.
Das wäre die Antwort auf eine andere Frage — nämlich ob jemand an deinem Geburtstag Geburtstag hat. Dafür bräuchte man tatsächlich rund 253 Personen für 50 Prozent.
Und hier zählt jedes Paar?
Genau. Bei 23 Leuten sind das 253 Paare — jedes davon ist eine Chance auf einen Treffer.
So wird gerechnet
365/365 · 364/365 · 363/365 · … · 343/365 ≈ 0,4927
Gesucht ist das Gegenteil:
1 − 0,4927 = 0,5073, also 50,7 %
Die falsche Frage beantwortet. „Jemand hat an meinem Geburtstag Geburtstag" ist etwas völlig anderes.
Wahrscheinlichkeiten addiert. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert.
Direkt statt über das Gegenereignis gerechnet. Der direkte Weg erfordert das Aufsummieren sehr vieler Fälle und ist praktisch nicht machbar.
Den 29. Februar zum Problem erklärt. Er verschiebt das Ergebnis um weniger als ein Zehntel Prozentpunkt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen gemeinsamen Geburtstag in einer Gruppe von 5 Personen. Erkläre, warum die Zahl so viel kleiner ist als bei 23.
Lösung anzeigen
Alle verschieden: 365/365 · 364/365 · 363/365 · 362/365 · 361/365 ≈ 0,9729
Mindestens ein Paar: 1 − 0,9729 = 2,7 %
Bei 5 Personen gibt es nur 5 · 4 ÷ 2 = 10 mögliche Paare, bei 23
Personen dagegen 253. Die Zahl der Paare wächst quadratisch mit der Gruppengröße,
nicht linear — deshalb steigt die Wahrscheinlichkeit so schnell an.
Die Rechnung Schritt für Schritt
Warum genau 23 Personen reichen, lässt sich in wenigen Zeilen nachrechnen - vorausgesetzt, man rechnet über das Gegenereignis. Die Frage lautet also nicht "Wie wahrscheinlich ist ein Treffer?", sondern "Wie wahrscheinlich ist es, dass alle verschiedene Geburtstage haben?"
Die erste Person darf sich einen beliebigen Tag aussuchen, das passt immer: 365 von 365. Für die zweite bleiben 364 freie Tage, für die dritte 363, und so weiter. Für n Personen ergibt das das Produkt (365 ÷ 365) · (364 ÷ 365) · ... · ((366 − n) ÷ 365). Bei n = 23 kommt dabei rund 0,4927 heraus. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist das Gegenteil davon, also 1 − 0,4927 = 0,5073, gut 50,7 Prozent. Bei 22 Personen liegt der Wert noch bei 47,6 Prozent - deshalb ist 23 die kleinste Zahl, die über die Hälfte kommt.
Die Kurve steigt danach überraschend schnell. Bei 30 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit schon bei 70,6 Prozent, bei 41 bei über 90 Prozent, bei 57 bei 99 Prozent und bei 70 Personen bei 99,9 Prozent. Erst bei 366 Personen erreicht sie sichere 100 Prozent, denn dann muss nach dem Schubfachprinzip mindestens ein Tag doppelt belegt sein. Zwischen "so gut wie sicher" und "wirklich sicher" liegen also fast 300 Personen - und dieser lange, flache Ausläufer ist der Grund, warum die Intuition hier so danebenliegt: Wir denken an die 366, obwohl das Interessante längst bei 23 passiert. Nebenbei sind echte Geburtstage nicht ganz gleichmäßig über das Jahr verteilt; im Spätsommer werden mehr Kinder geboren als im Winter. Diese Ungleichverteilung macht Übereinstimmungen sogar noch etwas wahrscheinlicher, verschiebt die Schwelle aber nur um Bruchteile.
Für die Klassenarbeit ist vor allem der Rechenweg wichtig: Erst das Gegenereignis, dann abziehen. Direkt zu rechnen, wie viele Paare treffen könnten, führt in ein Gestrüpp aus Doppelzählungen, weil sich auch drei oder mehr Personen einen Tag teilen können. Der Umweg über "alle verschieden" umgeht das vollständig.
🎥 In unter zwei Minuten erklärt – als Short auf unserem YouTube-Kanal.
Short ansehenDasselbe Prinzip heißt in der Informatik Geburtstagsangriff: Es ist viel leichter, irgendzwei Dateien mit gleichem Hashwert zu finden als eine zu einem vorgegebenen. Deshalb müssen Hashfunktionen doppelt so viele Bits haben, wie man naiv annehmen würde.
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