Das Drei-Türen-Problem (Monty Hall) leicht erklärt
Drei Türen, hinter einer ein Auto, hinter den anderen je eine Ziege. Du wählst eine Tür. Der Moderator — der weiß, wo das Auto steht — öffnet eine andere Tür mit einer Ziege und fragt, ob du wechseln willst. Solltest du? Ja. Immer.
Bedingte Wahrscheinlichkeit — die Wahrscheinlichkeit unter einer Zusatzinformation.
Zusatzinformation — hier: der Moderator weiß, wo das Auto steht, und handelt danach.
Gegenereignis — „falsch gewählt" hat die Wahrscheinlichkeit 2/3.
Monty-Hall-Problem — der englische Name, nach dem Showmaster Monty Hall.
Warum die Chance nicht 50:50 ist
Der entscheidende Punkt: Der Moderator öffnet keine zufällige Tür. Er weiß, wo das Auto steht, und öffnet immer eine Ziegentür. Damit steckt in seiner Handlung Information — und die verteilt sich nicht gleichmäßig auf beide verbleibenden Türen.
| Du wählst | Moderator öffnet | bleiben | wechseln |
|---|---|---|---|
| Tür 1 (Auto) | Tür 2 oder 3 | gewinnt | verliert |
| Tür 2 (Ziege) | Tür 3 | verliert | gewinnt |
| Tür 3 (Ziege) | Tür 2 | verliert | gewinnt |
In zwei von drei Fällen gewinnt das Wechseln. Mehr Beweis braucht es nicht — man muss nur alle Fälle vollständig aufschreiben.
Der Trick mit den hundert Türen
Stell dir hundert Türen vor. Du wählst eine — die Chance liegt bei 1 %. Der Moderator öffnet anschließend 98 Ziegentüren und lässt genau eine andere zu. Würdest du jetzt bei deiner ersten Wahl bleiben? Kaum jemand würde das. Bei drei Türen ist es exakt dieselbe Situation, nur weniger deutlich.
💬 Mia fragt Opa Theo
Es sind doch am Ende nur noch zwei Türen. Also 50:50!
Zwei Möglichkeiten heißt nicht gleich wahrscheinlich. Deine erste Wahl war zu 1/3 richtig — daran ändert das Öffnen nichts.
Und die anderen 2/3?
Die stecken jetzt vollständig in der einen übrigen Tür. Der Moderator hat die schlechte Möglichkeit für dich aussortiert.
„Zwei Türen, also 50:50." Gleiche Anzahl bedeutet nicht gleiche Wahrscheinlichkeit.
Das Wissen des Moderators übersehen. Öffnet er zufällig und erwischt zufällig eine Ziege, ist es tatsächlich 50:50 — die Regel ist entscheidend.
Nur einen Fall betrachtet. Erst die vollständige Fallunterscheidung zeigt das Ergebnis.
Der Intuition vertraut. Selbst Mathematiker haben sich hier öffentlich geirrt.
Wie ändert sich das Ergebnis, wenn der Moderator die zweite Tür rein zufällig öffnet und dabei zufällig eine Ziege erwischt? Begründe.
Lösung anzeigen
Dann liegt die Gewinnchance bei 50:50, Wechseln bringt nichts.
Der Grund: In diesem Fall hätte der Moderator auch das Auto aufdecken können. Dass er
eine Ziege zeigt, ist nun selbst ein Zufallsergebnis und liefert keine
zusätzliche Information über die restlichen Türen. Im ursprünglichen Problem folgt er
dagegen einer festen Regel — und genau diese Regel überträgt die 2/3 auf die eine
verbliebene Tür. Nicht die Anzahl der Türen entscheidet, sondern das Verhalten des
Moderators.
Warum unser Bauchgefühl hier versagt
Das Drei-Türen-Problem ist berühmt geworden, weil selbst Mathematikprofessoren die richtige Lösung zunächst für falsch hielten. Das lohnt einen genaueren Blick, denn dahinter steckt ein Denkfehler, der weit über dieses Rätsel hinausreicht.
Unser Gehirn behandelt Anzahl und Wahrscheinlichkeit gern als dasselbe. Zwei übrig gebliebene Türen fühlen sich nach zwei gleich guten Möglichkeiten an. Tatsächlich hängt die Wahrscheinlichkeit aber nicht davon ab, wie viele Möglichkeiten übrig sind, sondern davon, wie die Information zustande kam. Der Moderator handelt nicht zufällig: Er weiß, wo das Auto steht, und er öffnet garantiert eine Niete. Damit gibt er bei jeder Runde Information preis - und diese Information landet vollständig auf der Tür, die er nicht geöffnet hat.
Der sicherste Weg zur Überzeugung ist, jeden möglichen Fall aufzuschreiben. Angenommen, du wählst immer Tür 1.
Fall 1: Das Auto steht hinter Tür 1. Der Moderator öffnet Tür 2 oder 3, beide sind Nieten. Wechseln verliert.
Fall 2: Das Auto steht hinter Tür 2. Der Moderator muss Tür 3 öffnen, denn Tür 1 hast du gewählt und Tür 2 verbirgt das Auto. Wechseln gewinnt.
Fall 3: Das Auto steht hinter Tür 3. Der Moderator muss Tür 2 öffnen. Wechseln gewinnt.
Drei Fälle, alle gleich wahrscheinlich, und in zweien davon gewinnt das Wechseln. Genau das sind die zwei Drittel. Wer es lieber ausprobiert: Zu zweit mit drei Spielkarten lässt sich das in zehn Minuten dreißig Mal durchspielen, und das Ergebnis pendelt sich sichtbar bei zwei zu eins ein.
Der Fehler ist übrigens keine Dummheit, sondern ein Muster. Menschen bewerten Wahrscheinlichkeiten regelmäßig falsch, sobald eine Zusatzinformation ins Spiel kommt - besonders dann, wenn nicht offensichtlich ist, ob diese Information zufällig oder absichtlich entstanden ist. Genau diese Unterscheidung ist der Kern der bedingten Wahrscheinlichkeit, und das Drei-Türen-Problem ist ihr eingängigstes Beispiel.
🎥 In unter zwei Minuten erklärt – als Short auf unserem YouTube-Kanal.
Short ansehen1990 veröffentlichte Marilyn vos Savant die richtige Lösung in einer Zeitungskolumne. Es folgten rund 10.000 Leserbriefe, viele von Universitäten, die ihr Rechenfehler vorwarfen. Sie hatte recht.
← Zurück zur Übersicht